Matematik

Klasik mantık Aristoteles mantığı İLE modern mantık sembolik mantıktır. Klasik mantık doğal dil ile İLE modern mantık matematiksel gösterimle çalışır. Klasik mantık üç temel yasa İLE modern mantık önerme ve yüklem mantığı içerir.

Karar verilebilirlik tüm önermelerin mekanik olarak test edilebilmesi İLE karar verilemezlik bazı soruların algoritmik çözümünün olmayışıdır. Turing ve Church karar verilemezlik problemini gösterdi İLE her matematiksel sorunun mekanik çözümü yoktur.

Boole cebiri mantıksal işlemler İLE klasik cebir sayısal işlemlerle çalışır. Boole cebiri ve, ya da, değil İLE klasik cebir toplama, çarpma, çıkarma kullanır. Boole cebiri dijital devrelerin temeli İLE modern bilgisayarların mantıksal altyapısıdır.

Tamamlanabilirlik her doğru önermenin kanıtlanabilmesi İLE tamamlanmazlık bazı doğruların kanıtlanamayacağıdır. Gödel tamamlanmazlık teoremi matematiksel sistemlerin sınırını gösterdi İLE yeterince güçlü her sistemde kanıtlanamayan doğrular vardır.

Russell paradoksu kendini içermeyen kümelerin kümesi paradoksu İLE naif küme kuramı sınırsız küme oluşturma ilkesidir. Russell paradoksu kendini içeriyor mu sorusu İLE naif küme kuramınin tutarsız olduğunu gösterdi. Bu paradoks modern aksiyomatik küme kuramıni doğurdu.

Durma problemi bir programın durup durmayacağının belirlenmesi İLE karar problemi genel algoritma varlığı sorusudur. Turing durma probleminin çözülemez olduğunu kanıtladı İLE bazı soruların algoritmik çözümü yoktur.

Tutarlılık bir sistemde çelişki olmaması İLE tutarsızlık çelişki içermesidir. Gödel bir sistemin tutarlılığının o sistem içinde kanıtlanamayacağını gösterdi İLE bu matematiğin sınırlarını ortaya koydu.

Church-Turing tezi etkin hesaplanabilir fonksiyonlar Turing makinesi ile hesaplanabilir İLE hesaplanabilirlik sınırı mekanik çözümün sınırlarıdır. Bu tez matematiksel olarak kanıtlanamaz İLE ama evrensel olarak kabul edilir.

Toplama birleştirme, çarpma tekrarlı toplama

Bölme bölüm verir, mod kalan verir

Palindrom tersten aynı, emirp tersi de asal olan asal

Mükemmel sayı bölenlerinin toplamı kendisine eşit İLE arkadaş sayılar birbirlerinin bölen toplamına eşit

Sayılabilir sonsuz doğal sayılarla eşlenebilen İLE sayılamaz sonsuz daha büyük sonsuzdur. Cantor doğal sayılar sayılabilir İLE gerçel sayılar sayılamaz olduğunu kanıtladı. Bu farklı sonsuzluk büyüklükleri gösterir.

İki değerli mantık sadece doğru-yanlış İLE çok değerli mantık ara değerler içerir. İki değerli mantık klasik sistem İLE çok değerli mantık belirsizliği modelleyebilir. İki değerli 0 ve 1 İLE çok değerli 0-1 arası değerler kullanır.

Monte Carlo rastgele örnekleme, FEM deterministik bölümleme

Önerme mantığı önermeler arası ilişkiler İLE yüklem mantığı önermelerin iç yapısını inceler. Önerme mantığı ve, ya da, değil bağlaçları İLE yüklem mantığı niceleyiciler (tüm, bazı) kullanır. Önerme mantığı daha basit İLE yüklem mantığı daha güçlü ifade gücüne sahiptir.

Tümdengelim genelden özele gidiş İLE tümevarım özelden genele gidişe dayanır. Tümdengelim mantıksal zorunluluk İLE tümevarım olasılık sağlar. Tümdengelim geçerliyse sonuç kesin İLE tümevarım sonuç muhtemeldir.

Özdeşlik yasası A=A İLE çelişmezlik yasası A ve değil-A ikilik doğru olamaz. Özdeşlik bir şeyin kendisiyle aynılığı İLE çelişmezlik karşıt iki önerme ikilik kabul edilemez. Aristoteles iki temel mantık yasasını belirledi.

Turing makinesi mekanik hesaplama modeli İLE lambda kalkülüsü fonksiyonel hesaplama modelidir. İki model eşdeğer hesaplama gücü İLE farklı yaklaşımlar sunar. Turing mekanik İLE Church fonksiyonel düşünür.

Biçimselcilik matematiği biçimsel sistem oyunu İLE sezgicilik matematiği zihinsel inşa olarak görür. Biçimselcilik Hilbert programı İLE sezgicilik Brouwer yaklaşımıdır. Biçimselcilik semboller İLE sezgicilik yapılandırmacı kanıtlar ister.