( Bir doğruya dışındaki bir noktadan bir paralel çizilebiliyorsa. İLE/VE
Bir doğruya dışındaki bir noktadan hiç paralel çizilemiyorsa. İLE/VE
Bir doğruya dışındaki bir noktadan birden çok paralel çizilebiliyorsa. )

( Bir üçgenin iç açılarının toplamı 180 derece ise. İLE/VE
Bir üçgenin iç açılarının toplamı 180 dereceden küçük ise. İLE/VE
Bir üçgenin iç açılarının toplamı 180 dereceden büyük ise. )

( ÖKLİD POSTULATLARI

1- Bir noktadan, bir noktaya, tek bir doğru çizilebilir.

2- Sonlu bir doğru, yine bir doğru olarak uzatılabilir.

3- Bir merkez ve bir mesafe, çemberi tanımlar.

4- Tüm dik açılar, birbirine eşittir.

5- Eğer bir doğru, iki doğruyu kesiyorsa iç açıları toplamı, iki dik açıdan küçük olan tarafta iki doğru kesişirler.

(Bir doğruya, dışındaki bir noktadan yalnız bir tek paralel doğru çizilebilir.[John Playfair]) )

( function showTab(tabName) { // Tüm içerikleri gizle const contents = document.querySelectorAll('.content'); contents.forEach(content => content.classList.remove('active')); // Tüm tab butonlarını pasif yap const tabs = document.querySelectorAll('.tab'); tabs.forEach(tab => tab.classList.remove('active')); // Seçilen içeriği göster document.getElementById(tabName).classList.add('active'); // Seçilen tab butonunu aktif yap event.target.classList.add('active'); // Eğer math tab'ına tıklandıysa chart'ı çiz if (tabName === 'math') { setTimeout(drawCurvatureChart, 100); } } function drawCurvatureChart() { const ctx = document.getElementById('curvatureChart'); if (!ctx) return; // Önceki chart'ı temizle const existingChart = Chart.getChart(ctx); if (existingChart) { existingChart.destroy(); } new Chart(ctx, { type: 'line', data: { labels: ['-2', '-1', '0', '1', '2'], datasets: [{ label: 'Öklid (K=0)', data: [0, 0, 0, 0, 0], borderColor: '#007bff', backgroundColor: 'rgba(0, 123, 255, 0.1)', borderWidth: 3, fill: true }, { label: 'Lobachevsky (K0)', data: [1, 1, 1, 1, 1], borderColor: '#28a745', backgroundColor: 'rgba(40, 167, 69, 0.1)', borderWidth: 3, fill: true }] }, options: { responsive: true, plugins: { legend: { position: 'top', }, title: { display: true, text: 'Gauss Eğriliği (K) Değerleri' } }, scales: { y: { beginAtZero: true, title: { display: true, text: 'Eğrilik (K)' } }, x: { title: { display: true, text: 'Pozisyon' } } } } }); } // Sayfa yüklendiğinde chart'ı çiz document.addEventListener('DOMContentLoaded', function() { // Animasyonlar için CSS geçişleri const triangleBars = document.querySelectorAll('.triangle-bar'); triangleBars.forEach((bar, index) => { setTimeout(() => { bar.style.transform = 'scaleY(1)'; }, index * 200); }); }); // Paralel çizgiler animasyonu let animationFrame = 0; setInterval(() => { const lobachevskyLines = document.querySelectorAll('.lobachevsky-lines .line'); lobachevskyLines.forEach((line, index) => { if (index !== 1) { // Orta çizgi sabit const rotation = Math.sin(animationFrame * 0.1) * 5; line.style.transform = `rotate(${rotation * (index === 0 ? -1 : 1)}deg)`; } }); animationFrame++; }, 100); )

(

Bu üç geometri arasındaki en temel fark, meşhur Paralellik Aksiyomu'na (ya da Beşinci Postüla'ya) yaklaşımlarıdır. Tüm farklar bu tek varsayımdaki değişiklikten doğar.

1. Kavramsal Farklar ve Anlaşılması

Anlaşılması İçin Bir Benzetme

• Öklid Geometrisi (Sıfır Eğrilik): Düz bir kâğıt yüzeyi düşünün. Bu, sezgilerimize en uygun olan geometridir.
• Riemann Geometrisi (Pozitif Eğrilik): Bir kürenin (örneğin bir portakalın ya da Dünya'nın) yüzeyini düşünün.
• Lobaçevski Geometrisi (Negatif Eğrilik): Bir at eyerinin yüzeyini ya da bir patates cipsini düşünün. Her noktada zıt yönlere doğru bükülen bir yüzeydir.

Şimdi bu benzetmeler üzerinden temel farklara bakalım:

Paralellik Aksiyomu:

• Öklid: Düz bir kâğıt üzerinde, bir doğruya dışındaki bir noktadan yalnızca bir tane paralel doğru çizebilirsiniz.
• Riemann: Küre yüzeyinde "paralel" doğrular çizemezsiniz. Çünkü küre yüzeyindeki tüm "doğrular" (en kısa yollar, yani büyük daireler) eninde sonunda birbiriyle kesişir. Kısacası, bir doğruya dışındaki bir noktadan hiçbir paralel doğru çizilemez.
• Lobaçevski: Eyer yüzeyinde, bir doğruya dışındaki bir noktadan sonsuz sayıda paralel doğru çizebilirsiniz. Bu doğrular, verilen ilk doğruyu asla kesmezler.

Üçgenin İç Açıları Toplamı:

• Öklid: Düz kâğıt üzerindeki bir üçgenin iç açıları toplamı tam olarak 180°'dir.
• Riemann: Küre yüzeyine çizilmiş bir üçgenin iç açıları toplamı her zaman 180°'den büyüktür.
• Lobaçevski: Eyer yüzeyine çizilmiş bir üçgenin iç açıları toplamı her zaman 180°'den küçüktür.

Özellik	Öklid Geometrisi	Riemann Geometrisi (Küresel)	Lobaçevski Geometrisi (Hiperbolik)
Yüzey Benzetmesi	Düzlem (Kâğıt)	Küre	Eyer
Eğrilik	Sıfır	Pozitif	Negatif
Paralellik	Bir doğruya dışındaki bir noktadan tek bir paralel çizilir.	Paralel doğrular yoktur; tüm doğrular kesişir.	Bir doğruya dışındaki bir noktadan sonsuz paralel çizilir.
Üçgen İç Açıları	Tam olarak 180°	180°'den büyük	180°'den küçük
Uygulama Alanı	Gündelik hayat, mühendislik, klasik fizik	Kozmoloji, genel görelilik, Dünya yüzeyinde seyrüsefer (GPS)	Genel görelilik, karmaşık ağ analizi, soyut matematik

2. Matematiksel Formül Farkı

Bu geometriler arasındaki fark, en temel düzeyde, iki nokta arasındaki mesafeyi ölçen formülde, yani metrikte yatar. İki boyutlu bir uzay için bu formüller (çizgi öğesi ds) şöyledir:

• Öklid Geometrisi (Kartezyen Koordinatlarda):

  Bu, Pisagor teoreminden bildiğimiz basit uzaklık formülüdür. $dx$ ve $dy$, x ve y eksenlerindeki sonsuz küçük değişimlerdir. Bu metrik, uzayın "düz" olduğunu belirtir.

  ds² = dx² + dy²

• Riemann Geometrisi (Küresel Koordinatlarda):

  $R$ yarıçaplı bir küre yüzeyi için metrik şöyledir. $R$ kürenin yarıçapı, θ ve φ ise enlem ve boylama karşılık gelen açılardır. Formüldeki $sin²(θ)$ terimi, uzayın eğriliğini yansıtır.

  ds² = R² dθ² + R² sin²(θ) dφ²

• Lobaçevski Geometrisi (Poincaré Disk Modeli):

  Bu geometriyi temsil etmenin bir yolu olan Poincaré diskinde metrik şöyledir. Paydadaki terim, diskin merkezinden kenarına doğru yaklaştıkça mesafelerin logaritmik olarak "genişlemesine" neden olur.

  ds² = 4(dx² + dy²) / (1 - (x² + y²))²

3. Kodlama İlişkisi ve Farkı

Bu geometrilerin kodlamadaki yansımaları, genellikle uğraşılan problemin doğasına bağlıdır.

• Öklid Geometrisi:
  • İlişki/Kodlama: Neredeyse tüm standart bilgisayar grafikleri, oyun motorları (Unity, Unreal Engine vb.) ve simülasyonlar varsayılan olarak Öklid geometrisini kullanır. Vektörler (x, y, z) ile temsil edilir. Toplama, çıkarma, nokta çarpım, çapraz çarpım gibi standart vektör işlemleri bu geometrinin temelini oluşturur.
  • Fark: Kodlaması en basit ve en sezgisel olanıdır. vectorA + vectorB gibi bir işlem, düz bir çizgide hareket anlamına gelir.
• Riemann Geometrisi:
  • İlişki/Kodlama: Dünya yüzeyiyle ilgili uygulamalarda zorunludur. GPS sistemleri, uçuş simülatörleri, harita servisleri (Google Earth, OpenStreetMap) ve astronomi yazılımları bu geometriyi kullanır.
  • Fark: Genellikle enlem ve boylam gibi küresel koordinatlar (latitude, longitude) kullanılır. İki nokta arasındaki en kısa mesafeyi bulmak için Pisagor teoremi yerine Haversine formülü gibi özel algoritmalar gerekir.
• Lobaçevski Geometrisi:
  • İlişki/Kodlama: Daha niş alanlarda kullanılır. Bazı oyunlar, sezgisel olmayan ve sonsuz gibi görünen alanlar yaratmak için bu geometriyi kullanır (örneğin, HyperRogue oyunu).
  • Fark: Kodlaması en karmaşık olanıdır. Lobaçevski uzayını temsil etmek için Poincaré diski ya da Klein modeli gibi bir model seçmeniz gerekir. Tüm geometrik işlemler bu modelin metrik formülüne göre yeniden tanımlanmalıdır.

)